Alex Chui no sólo ganó la Olimpiada Internacional de Matemáticas el mes pasado. Lo rompió. El estudiante británico, alumno de 13º año de la escuela Tonbridge en Kent, obtuvo una puntuación perfecta. Eso es 100 por ciento. Le aseguró la medalla de oro y elevó su número total de medallas a siete, cinco de ellas de oro.
Esto es histórico. Ningún competidor en la larga historia de la OMI desde 1959 ha ganado una medalla durante siete años consecutivos. El concurso reúne talentos en edad escolar de más de cien países. Por lo general, no es posible mantener ese nivel de precisión durante casi una década. Chui cambió las reglas del juego en Shanghai.
Pero las matemáticas no se limitan a las medallas. Le pregunté a Chui qué rompecabezas le gustaba más. No me dio nada de su examen. Ofreció esto en su lugar.
El desafío de la cuadrícula 3×3
Aquí está la configuración. Necesitas llenar una cuadrícula de 3×3.
Las celdas deben contener números enteros positivos.
Hay una limitación. El producto de los números de cada fila debe ser igual a 30.
El producto de los números de cada columna también debe ser igual a 30.
¿Sencillo? No. Si intentas contar estas cuadrículas con fuerza bruta, te perderás. Hay más de 200 formas válidas de llenar esta cuadrícula. El ensayo y error es una trampa. Los números no tienen por qué ser únicos. Se permite la repetición.
La respuesta no se trata de adivinar. Se trata de descomponer 30 en sus componentes principales.
Entonces, ¿cómo se resuelve sin ahogarse en 200 posibilidades? Miras los factores.
La factorización prima es la clave
30 es un número pequeño, pero está compuesto de bloques de construcción específicos.
30 = 2 × 3 × 5
Esos son números primos. No hay otros factores enteros que importen aquí. Cualquier número que coloques en la cuadrícula debe estar formado por combinaciones de estos tres números primos. Como el producto de tres números seguidos es 30, cada fila debe distribuir estos números primos.
Miremos la diagonal. O solo la primera fila.
En cualquier fila, estás multiplicando tres números. El resultado es 2 × 3 × 5.
Esto significa que cada fila contiene los factores primos 2, 3 y 5, repartidos en tres celdas. Es posible que algunas celdas contengan simplemente 1 (que no es ni 2, ni 3, ni 5). Otros pueden tener un compuesto como 6 (2×3) o 10 (2×5) o 15 (3×5). Pero el recuento total de 2, 3 y 5 en la fila debe coincidir con el objetivo.
Rompiendo la simetría
Aquí es donde se pone elegante.
Considere la diagonal de arriba a la izquierda a abajo a la derecha. Sea la cuadrícula $G$.
$G_{11} \times G_{22} \times G_{33} = \text{¿algo?}$ No necesariamente 30. Esa no es la regla.
La regla es productos de fila y columna.
