Alex Chu nevyhrál jen minulý měsíc Mezinárodní matematickou olympiádu. Překonal všechny rekordy. Britský student, který absolvoval 13. ročník na Tonbridge School v Kentu, dosáhl perfektního skóre. To je 100 %. To mu zajistilo zlatou medaili a zvýšilo jeho celkový počet ocenění na sedm, přičemž pět z nich bylo zlatých.
To je historický úspěch. Žádný účastník v dlouhé historii Moskevské oblasti od roku 1959 nedostal medaili sedm let po sobě. Olympiam sdružuje talentované školáky z více než stovky zemí světa. Udržet tuto úroveň přesnosti téměř deset let je obvykle nemožné. Chu změnil hru v Šanghaji.
Matematika se ale neomezuje jen na medaile. Zeptal jsem se Chu, která hádanka je jeho oblíbená. Problém ze zkoušky nepojmenoval. Místo toho navrhl tohle.
3×3 Grid Challenge
Zde je stav problému. Musíte vyplnit mřížku 3×3.
Buňky musí obsahovat kladná celá čísla.
Existuje omezení: součin čísel v každém řádku se musí rovnat 30.
Součin čísel v každém sloupci se také musí rovnat 30.
Jednoduché? Ne. Pokud se pokusíte použít všechny možnosti hrubou silou, budete rychle zmateni. Existuje více než 200 platných způsobů, jak tuto mřížku vyplnit. Pokus a omyl je past. Čísla se nemusí lišit. Opakování je povoleno.
Odpověď nespočívá v hádání, ale v rozkladu čísla 30 na jeho prvočinitele.
Jak tedy tento problém vyřešit, aniž byste byli zahlceni 200 možnostmi? Musíte se podívat na multiplikátory.
Prvotřídní faktorizace je klíčem k řešení
30 je malé číslo, ale má určité stavební kameny.
30 = 2 × 3 × 5
To jsou prvočísla. Žádné další celočíselné faktory zde nejsou relevantní. Jakékoli číslo umístěné na mřížce musí být tvořeno kombinacemi těchto tří prvočísel. Protože součin tří čísel v řadě je 30, musí každý řádek obsahovat tyto prvočísla.
Podívejme se na úhlopříčku. Nebo jen na prvním řádku.
Vynásobením tří čísel na jednom řádku dostaneme výsledek 2 × 3 × 5.
To znamená, že každý řádek obsahuje prvočísla 2, 3 a 5, rozložené do tří buněk. Některé buňky mohou jednoduše obsahovat 1 (toto nejsou 2, ne 3 nebo 5). Jiné mohou mít složené číslo, například 6 (2×3), 10 (2×5) nebo 15 (3×5). Ale celkový počet dvojek, trojek a pěti v řádku musí odpovídat cílové hodnotě.
Narušení symetrie
Tady to začíná být zajímavé.
Zvažte úhlopříčku z levého horního rohu do pravého dolního rohu. Nechť je mřížka označena jako $G$.
$G_{11} \times G_{22} \times G_{33} = \text{něco?}$ Ne nutně 30. Žádné takové pravidlo neexistuje.
Pravidlem je násobit čísla v řádcích a sloupcích.
