Alex Chui hat letzten Monat nicht nur die Internationale Mathematikolympiade gewonnen. Er hat es kaputt gemacht. Der britische Schüler, ein Schüler der 13. Klasse der Tonbridge School in Kent, schloss mit einer perfekten Punktzahl ab. Das sind 100 Prozent. Es sicherte ihm die Goldmedaille und erhöhte seine Gesamtmedaillenzahl auf sieben, davon fünf Goldmedaillen.
Das ist historisch. Kein Teilnehmer in der langen Geschichte der IMO seit 1959 hat jemals sieben Jahre in Folge eine Medaille gewonnen. Der Wettbewerb bringt Talente im schulpflichtigen Alter aus über hundert Ländern zusammen. Normalerweise kann man dieses Maß an Präzision nicht fast ein Jahrzehnt lang aufrechterhalten. Chui änderte die Spielregeln in Shanghai.
Aber die Mathematik hört nicht bei Medaillen auf. Ich fragte Chui, welches Rätsel ihm am besten gefiel. Er hat mir nichts von seiner Prüfung mitgeteilt. Stattdessen bot er dies an.
Die 3×3-Raster-Herausforderung
Hier ist das Setup. Sie müssen ein 3×3-Raster füllen.
Die Zellen müssen positive ganze Zahlen enthalten.
Es gibt eine Einschränkung. Das Produkt der Zahlen in jeder Zeile muss 30 ergeben.
Das Produkt der Zahlen in jeder Spalte muss ebenfalls 30 ergeben.
Einfach? Nein. Wenn Sie versuchen, diese Gitter mit roher Gewalt zu zählen, gehen Sie verloren. Es gibt mehr als 200 gültige Möglichkeiten, dieses Raster zu füllen. Versuch und Irrtum sind eine Falle. Die Nummern müssen nicht eindeutig sein. Wiederholung ist erlaubt.
Bei der Antwort geht es nicht darum, zu raten. Es geht darum, 30 in ihre Hauptbestandteile zu zerlegen.
Wie löst man das Problem, ohne in 200 Möglichkeiten zu ertrinken? Sie schauen sich die Faktoren an.
Primfaktorzerlegung ist der Schlüssel
30 ist eine kleine Zahl, die jedoch aus bestimmten Bausteinen besteht.
30 = 2 × 3 × 5
Das sind Primzahlen. Es gibt keine anderen ganzzahligen Faktoren, die hier von Bedeutung sind. Jede Zahl, die Sie in das Raster eingeben, muss durch Kombinationen dieser drei Primzahlen gebildet werden. Da das Produkt von drei Zahlen in einer Reihe 30 ist, muss jede Reihe diese Primzahlen verteilen.
Schauen wir uns die Diagonale an. Oder nur die erste Reihe.
In jeder einzelnen Zeile multiplizieren Sie drei Zahlen. Das Ergebnis ist 2 × 3 × 5.
Das bedeutet, dass jede Zeile die Primfaktoren 2, 3 und 5 enthält, verteilt auf drei Zellen. Einige Zellen enthalten möglicherweise nur 1 (was weder 2, 3 noch 5 ist). Andere könnten eine Zusammensetzung wie 6 (2×3) oder 10 (2×5) oder 15 (3×5) enthalten. Aber die Gesamtzahl der 2er, 3er und 5er in der Zeile muss mit dem Ziel übereinstimmen.
Brechen der Symmetrie
Hier wird es elegant.
Betrachten Sie die Diagonale von links oben nach rechts unten. Das Gitter sei $G$.
$G_{11} \times G_{22} \times G_{33} = \text{etwas?}$ Nicht unbedingt 30. Das ist nicht die Regel.
Die Regel sind Zeilenprodukte und Spalten
