Alex Chui won vorige maand niet alleen de Internationale Wiskundeolympiade. Hij heeft het gebroken. De Britse student, een leerling van groep 13 op de Tonbridge School in Kent, liep weg met een perfecte score. Dat is 100 procent. Het leverde hem de gouden medaille op en bracht zijn totale aantal medailles op zeven, waarvan vijf goud.
Dit is historisch. Geen enkele deelnemer in de lange geschiedenis van de IMO sinds 1959 heeft ooit zeven jaar op rij een medaille gewonnen. De competitie brengt talent uit de schoolgaande leeftijd samen uit meer dan honderd landen. Normaal gesproken kun je dat niveau van precisie niet bijna tien jaar volhouden. Chui veranderde de spelregels in Shanghai.
Maar de wiskunde stopt niet bij medailles. Ik vroeg Chui welke puzzel hij het leukst vond. Hij heeft me niets van zijn examen gegeven. Hij bood dit in plaats daarvan aan.
De 3×3 grid-uitdaging
Hier is de opstelling. Je moet een raster van 3×3 vullen.
De cellen moeten positieve gehele getallen bevatten.
Er is een beperking. Het product van de getallen in elke rij moet gelijk zijn aan 30.
Het product van de getallen in elke kolom moet ook gelijk zijn aan 30.
Eenvoudig? Nee. Als je deze rasters met brute kracht probeert te tellen, raak je verdwaald. Er zijn meer dan 200 geldige manieren om dit raster te vullen. Trial and error is een valkuil. De nummers hoeven niet uniek te zijn. Herhaling is toegestaan.
Het antwoord gaat niet over raden. Het gaat erom 30 op te splitsen in de belangrijkste componenten.
Dus, hoe los je het op zonder te verdrinken in 200 mogelijkheden? Je kijkt naar de factoren.
Prime-ontbinding is de sleutel
30 is een klein aantal, maar het is samengesteld uit specifieke bouwstenen.
30 = 2×3×5
Dat zijn priemgetallen. Er zijn hier geen andere gehele factoren die er toe doen. Elk getal dat u in het raster plaatst, moet worden gevormd door combinaties van deze drie priemgetallen. Omdat het product van drie getallen op rij 30 is, moet elke rij deze priemgetallen verdelen.
Laten we naar de diagonaal kijken. Of alleen de eerste rij.
In elke rij vermenigvuldig je drie getallen. Het resultaat is 2×3×5.
Dit betekent dat elke rij de belangrijkste factoren 2, 3 en 5 bevat, verspreid over drie cellen. Sommige cellen kunnen slechts 1 bevatten (wat noch 2, 3, noch 5 is). Anderen kunnen een composiet vasthouden zoals 6 (2×3) of 10 (2×5) of 15 (3×5). Maar het totale aantal 2s, 3s en 5s in de rij moet overeenkomen met het doel.
De symmetrie doorbreken
Hier wordt het elegant.
Beschouw de diagonaal van linksboven naar rechtsonder. Laat het raster $G$ zijn.
$G_{11} \times G_{22} \times G_{33} = \text{iets?}$ Niet noodzakelijkerwijs 30. Dat is niet de regel.
De regel is rijproducten en kolom
