Alex Chui tidak hanya memenangkan Olimpiade Matematika Internasional bulan lalu. Dia memecahkannya. Siswa asal Inggris, siswa kelas 13 di Tonbridge School di Kent, lulus dengan nilai sempurna. Itu 100 persen. Ini memberinya medali emas dan meningkatkan jumlah total medalinya menjadi tujuh—lima di antaranya emas.
Ini bersejarah. Tidak ada kontestan dalam sejarah panjang IMO sejak 1959 yang pernah memenangkan medali selama tujuh tahun berturut-turut. Kompetisi ini mempertemukan talenta usia sekolah dari lebih dari seratus negara. Biasanya, Anda tidak dapat mempertahankan tingkat presisi tersebut selama hampir satu dekade. Chui mengubah aturan main di Shanghai.
Namun perhitungannya tidak berhenti pada medali. Saya bertanya kepada Chui teka-teki apa yang paling dia sukai. Dia tidak memberiku sesuatu dari ujiannya. Dia malah menawarkan ini.
Tantangan grid 3×3
Berikut pengaturannya. Anda perlu mengisi kotak 3×3.
Sel harus berisi bilangan bulat positif.
Ada kendala. Hasil kali bilangan pada setiap baris harus sama dengan 30.
Hasil kali angka-angka di setiap kolom juga harus sama dengan 30.
Sederhana? Tidak. Jika Anda mencoba menghitung grid ini dengan kekerasan, Anda akan tersesat. Ada lebih dari 200 cara valid untuk mengisi grid ini. Trial and error adalah jebakan. Nomornya tidak harus unik. Pengulangan diperbolehkan.
Jawabannya bukan soal menebak-nebak. Ini tentang memecah 30 menjadi komponen utamanya.
Lantas, bagaimana cara mengatasinya tanpa tenggelam dalam 200 kemungkinan? Anda melihat faktor-faktornya.
Faktorisasi prima adalah kuncinya
30 adalah angka yang kecil, namun terdiri dari elemen-elemen tertentu.
30 = 2×3×5
Itu adalah bilangan prima. Tidak ada faktor bilangan bulat lain yang penting di sini. Nomor apa pun yang Anda masukkan ke dalam kotak harus dibentuk oleh kombinasi ketiga bilangan prima ini. Karena hasil kali tiga bilangan berurutan adalah 30, maka setiap baris harus mendistribusikan bilangan prima tersebut.
Mari kita lihat diagonalnya. Atau hanya baris pertama.
Di baris mana pun, Anda mengalikan tiga angka. Hasilnya adalah 2×3×5.
Artinya setiap baris berisi faktor prima 2, 3, dan 5 yang tersebar di tiga sel. Beberapa sel mungkin hanya menampung 1 (bukan 2, 3, atau 5). Yang lain mungkin memegang gabungan seperti 6 (2×3) atau 10 (2×5) atau 15 (3×5). Namun total hitungan 2, 3, dan 5 di seluruh baris harus sesuai dengan target.
Melanggar simetri
Di sinilah ia menjadi elegan.
Perhatikan diagonal dari kiri atas ke kanan bawah. Biarkan gridnya menjadi $G$.
$G_{11} \times G_{22} \times G_{33} = \text{sesuatu?}$ Belum tentu 30. Itu bukan aturannya.
Aturannya adalah hasil kali baris dan kolom
