Alex Chui non ha vinto le Olimpiadi internazionali della matematica solo il mese scorso. L’ha rotto. Lo studente britannico, allievo del 13° anno della Tonbridge School nel Kent, se n’è andato con un punteggio perfetto. Questo è il 100%. Gli ha assicurato la medaglia d’oro e ha portato il suo totale di medaglie a sette, cinque delle quali d’oro.
Questo è storico. Nessun concorrente nella lunga storia dell’IMO dal 1959 ha mai vinto una medaglia per sette anni consecutivi. Il concorso riunisce talenti in età scolare provenienti da oltre cento paesi. Di solito, non è possibile sostenere quel livello di precisione per quasi un decennio. Chui ha cambiato le regole del gioco a Shanghai.
Ma i conti non si fermano alle medaglie. Ho chiesto a Chui quale puzzle gli piacesse di più. Non mi ha dato nulla del suo esame. Invece ha offerto questo.
La sfida della griglia 3×3
Ecco la configurazione. Devi riempire una griglia 3×3.
Le celle devono contenere numeri interi positivi.
C’è un vincolo. Il prodotto dei numeri in ciascuna riga deve essere uguale a 30.
Anche il prodotto dei numeri in ciascuna colonna deve essere uguale a 30.
Semplice? No. Se provi a contare queste griglie con la forza bruta, ti perderai. Esistono più di 200 modi validi per riempire questa griglia. Prova ed errore sono una trappola. I numeri non devono essere univoci. È consentita la ripetizione.
La risposta non è indovinare. Si tratta di scomporre 30 nei suoi componenti principali.
Quindi, come risolverlo senza affogare in 200 possibilità? Guardi i fattori.
La chiave è la fattorizzazione dei numeri primi
30 è un numero piccolo, ma è composto da elementi costitutivi specifici.
30 = 2×3×5
Quelli sono numeri primi. Non ci sono altri fattori interi che contano qui. Qualsiasi numero inserito nella griglia deve essere formato dalla combinazione di questi tre numeri primi. Poiché il prodotto di tre numeri consecutivi è 30, ciascuna riga deve distribuire questi numeri primi.
Consideriamo la diagonale. O solo la prima riga.
In ogni singola riga stai moltiplicando tre numeri. Il risultato è 2 × 3 × 5.
Ciò significa che ogni riga contiene i fattori primi 2, 3 e 5, sparsi su tre celle. Alcune celle potrebbero contenere solo 1 (che non è né 2, né 3, né 5). Altri potrebbero contenere un composto come 6 (2×3) o 10 (2×5) o 15 (3×5). Ma il conteggio totale di 2, 3 e 5 sulla riga deve corrispondere all’obiettivo.
Rompere la simmetria
Qui è dove diventa elegante.
Considera la diagonale da in alto a sinistra a in basso a destra. Sia la griglia $G$.
$G_{11} \times G_{22} \times G_{33} = \text{qualcosa?}$ Non necessariamente 30. Non è la regola.
La regola è prodotti di riga e colonna
