Alex Chu nie tylko w zeszłym miesiącu wygrał Międzynarodową Olimpiadę Matematyczną. Pobił wszelkie rekordy. Brytyjska uczennica, która ukończyła 13. klasę Tonbridge School w Kent, uzyskała doskonały wynik. To jest 100%. To zapewniło mu złoty medal i zwiększyło jego łączną liczbę nagród do siedmiu, z czego pięć było złotych.
To historyczne osiągnięcie. Żaden uczestnik długiej historii obwodu moskiewskiego od 1959 roku nie otrzymał medalu przez siedem lat z rzędu. Olympiam skupia utalentowaną młodzież szkolną z ponad stu krajów. Utrzymanie tego poziomu dokładności przez prawie dziesięć lat jest zazwyczaj niemożliwe. Chu zmienił reguły gry w Szanghaju.
Ale matematyka nie ogranicza się do medali. Zapytałem Chu, która łamigłówka jest jego ulubioną. Nie nazwał problemu z egzaminu. Zamiast tego zasugerował ten.
Wyzwanie w siatce 3×3
Oto stan problemu. Musisz wypełnić siatkę 3×3.
Komórki muszą zawierać dodatnie liczby całkowite.
Istnieje ograniczenie: iloczyn liczb w każdym wierszu musi być równy 30.
Iloczyn liczb w każdej kolumnie musi również wynosić 30.
Proste? Nie. Jeśli spróbujesz brutalnie wykorzystać wszystkie opcje, szybko się pogubisz. Istnieje ponad 200 prawidłowych sposobów wypełnienia tej siatki. Metoda prób i błędów to pułapka. Liczby nie muszą się różnić. Powtórzenia są dozwolone.
Odpowiedź nie leży w zgadywaniu, ale w rozłożeniu liczby 30 na czynniki pierwsze.
Jak więc rozwiązać ten problem, nie przytłaczając się 200 opcjami? Trzeba patrzeć na mnożniki.
Rozkład na czynniki pierwsze jest kluczem do rozwiązania
30 to niewielka liczba, ale ma pewne elementy składowe.
30 = 2 × 3 × 5
To są liczby pierwsze. Żadne inne czynniki całkowite nie są tutaj istotne. Każda liczba umieszczona na siatce musi zostać utworzona przez kombinację tych trzech liczb pierwszych. Ponieważ iloczyn trzech liczb z rzędu wynosi 30, każdy wiersz musi zawierać te czynniki pierwsze.
Spójrzmy na przekątną. Albo po prostu w pierwszej linii.
Mnożenie trzech liczb w jednej linii daje wynik 2 × 3 × 5.
Oznacza to, że każdy wiersz zawiera czynniki pierwsze 2, 3 i 5 rozmieszczone w trzech komórkach. Niektóre komórki mogą po prostu zawierać 1 (nie jest to 2, nie 3 czy 5). Inne mogą mieć liczbę złożoną, na przykład 6 (2×3), 10 (2×5) lub 15 (3×5). Ale całkowita liczba dwójek, trójek i piątek w wierszu musi odpowiadać wartości docelowej.
Łamanie symetrii
Tutaj robi się ciekawie.
Rozważ przekątną od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu. Niech siatka będzie oznaczona jako $G$.
$G_{11} \times G_{22} \times G_{33} = \text{coś?}$ Niekoniecznie 30. Nie ma takiej reguły.
Zasadą jest mnożenie liczb w wierszach i kolumnach.
