Alex Chui n’a pas seulement remporté l’Olympiade internationale de mathématiques le mois dernier. Il l’a cassé. L’étudiant britannique, élève de 13e année à la Tonbridge School dans le Kent, est reparti avec un score parfait. C’est 100 pour cent. Cela lui a valu la médaille d’or et a porté son total de médailles à sept, dont cinq d’or.
C’est historique. Aucun concurrent dans la longue histoire de l’OMI depuis 1959 n’a remporté une médaille pendant sept années consécutives. Le concours rassemble des talents d’âge scolaire provenant de plus d’une centaine de pays. Habituellement, vous ne pouvez pas maintenir ce niveau de précision pendant près d’une décennie. Chui a changé les règles du jeu à Shanghai.
Mais les calculs ne s’arrêtent pas aux médailles. J’ai demandé à Chui quel puzzle il préférait. Il ne m’a pas donné quelque chose de son examen. Il a proposé ceci à la place.
Le défi de la grille 3×3
Voici la configuration. Vous devez remplir une grille 3×3.
Les cellules doivent contenir des nombres entiers positifs.
Il y a une contrainte. Le produit des nombres de chaque ligne doit être égal à 30.
Le produit des nombres de chaque colonne doit également être égal à 30.
Simple ? Non. Si vous essayez de compter ces grilles par force brute, vous vous perdrez. Il existe plus de 200 façons valides de remplir cette grille. Les essais et erreurs sont un piège. Les numéros ne doivent pas nécessairement être uniques. La répétition est autorisée.
La réponse ne consiste pas à deviner. Il s’agit de décomposer 30 en ses principaux composants.
Alors, comment résoudre ce problème sans se noyer sous 200 possibilités ? Vous regardez les facteurs.
La factorisation première est la clé
30 est un petit nombre, mais il est composé d’éléments de base spécifiques.
30 = 2 × 3 × 5
Ce sont des nombres premiers. Il n’y a pas d’autres facteurs entiers qui comptent ici. Tout nombre que vous placez dans la grille doit être formé par des combinaisons de ces trois nombres premiers. Puisque le produit de trois nombres consécutifs est 30, chaque ligne doit distribuer ces nombres premiers.
Regardons la diagonale. Ou juste la première rangée.
Dans n’importe quelle ligne, vous multipliez trois nombres. Le résultat est 2 × 3 × 5.
Cela signifie que chaque ligne contient les facteurs premiers 2, 3 et 5, répartis sur trois cellules. Certaines cellules peuvent contenir uniquement 1 (qui n’est ni 2, ni 3, ni 5). D’autres pourraient détenir un composite comme 6 (2 × 3) ou 10 (2 × 5) ou 15 (3 × 5). Mais le nombre total de 2, 3 et 5 sur la rangée doit correspondre à l’objectif.
Briser la symétrie
C’est ici que ça devient élégant.
Considérez la diagonale du coin supérieur gauche au coin inférieur droit. Soit la grille $G$.
$G_{11} \times G_{22} \times G_{33} = \text{something?}$ Pas nécessairement 30. Ce n’est pas la règle.
La règle est celle des produits en ligne et en colonne
