Alex Chui não venceu apenas a Olimpíada Internacional de Matemática no mês passado. Ele quebrou. O estudante britânico, aluno do 13º ano da Tonbridge School, em Kent, obteve uma pontuação perfeita. Isso é 100 por cento. Isso lhe garantiu a medalha de ouro e aumentou sua contagem total de medalhas para sete – cinco delas de ouro.
Isto é histórico. Nenhum concorrente na longa história da IMO desde 1959 ganhou uma medalha durante sete anos consecutivos. A competição reúne talentos em idade escolar de mais de cem países. Normalmente, você não consegue manter esse nível de precisão por quase uma década. Chui mudou as regras do jogo em Xangai.
Mas a matemática não para nas medalhas. Perguntei a Chui qual quebra-cabeça ele mais gostou. Ele não me deu nada do exame. Ele ofereceu isso em vez disso.
O desafio da grade 3×3
Aqui está a configuração. Você precisa preencher uma grade 3×3.
As células devem conter números inteiros positivos.
Existe uma restrição. O produto dos números em cada linha deve ser igual a 30.
O produto dos números em cada coluna também deve ser igual a 30.
Simples? Não. Se você tentar contar essas grades pela força bruta, você se perderá. Existem mais de 200 maneiras válidas de preencher esta grade. Tentativa e erro é uma armadilha. Os números não precisam ser únicos. A repetição é permitida.
A resposta não é adivinhar. Trata-se de dividir 30 em seus componentes principais.
Então, como resolver isso sem se afogar em 200 possibilidades? Você olha para os fatores.
Fatoração primária é a chave
30 é um número pequeno, mas é composto de blocos de construção específicos.
30 = 2 × 3 × 5
Esses são primos. Não há outros fatores inteiros que importem aqui. Qualquer número que você colocar na grade deve ser formado por combinações desses três primos. Como o produto de três números consecutivos é 30, cada linha deve distribuir esses números primos.
Vejamos a diagonal. Ou apenas a primeira linha.
Em qualquer linha, você está multiplicando três números. O resultado é 2 × 3 × 5.
Isso significa que cada linha contém os fatores primos 2, 3 e 5, espalhados por três células. Algumas células podem conter apenas 1 (que não é 2, 3 ou 5). Outros podem conter um composto como 6 (2×3) ou 10 (2×5) ou 15 (3×5). Mas a contagem total de 2s, 3s e 5s na linha deve corresponder ao alvo.
Quebrando a simetria
É aqui que fica elegante.
Considere a diagonal do canto superior esquerdo ao canto inferior direito. Deixe a grade ser $G$.
$G_{11} \times G_{22} \times G_{33} = \text{alguma coisa?}$ Não necessariamente 30. Essa não é a regra.
A regra é produtos de linha e coluna
